Exercício Resolvido Ângulos Em Triângulo Equilátero E Pentágono Regular

Na figura, ABC é um triângulo equilátero e DEFGH é um pentágono regular. Se D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AB, G e H pertencem ao lado BC, determine as medidas dos ângulos ADE e EDH.

Este artigo apresenta uma solução detalhada para um problema de geometria que envolve um triângulo equilátero e um pentágono regular. O problema exige a determinação de medidas de ângulos específicos dentro da figura geométrica. Este tipo de exercício é fundamental para o desenvolvimento do raciocínio lógico e da aplicação de conceitos geométricos.

Enunciado do Problema

Na figura, ABC é um triângulo equilátero e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo que D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AB, G e H pertencem ao lado BC, determine as medidas dos ângulos ADE e EDH.

Solução Detalhada

Para resolver este problema, vamos seguir uma abordagem passo a passo, utilizando as propriedades dos triângulos equiláteros e pentágonos regulares, bem como os conceitos de ângulos internos e externos.

1. Análise do Triângulo Equilátero ABC

Um triângulo equilátero possui três lados iguais e três ângulos internos iguais. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. Portanto, cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede:

${\frac{180°}{3} = 60°}$

Assim, os ângulos ${\angle BAC}$, ${\angle ABC}$ e ${\angle ACB}$ medem 60° cada.

É crucial destacar que o conhecimento das propriedades de figuras geométricas básicas, como o triângulo equilátero, é fundamental para a resolução de problemas mais complexos. Neste caso, a igualdade dos ângulos internos do triângulo equilátero é o ponto de partida para a solução. A identificação correta dessas propriedades e a aplicação das fórmulas adequadas são habilidades essenciais na geometria.

2. Análise do Pentágono Regular DEFGH

Um pentágono regular possui cinco lados iguais e cinco ângulos internos iguais. Para calcular a medida de cada ângulo interno, utilizamos a fórmula:

${\text{Ângulo interno} = \frac{(n - 2) \times 180°}{n}}$

Onde n é o número de lados. Para um pentágono (n = 5):

${\text{Ângulo interno} = \frac{(5 - 2) \times 180°}{5} = \frac{3 \times 180°}{5} = 108°}$

Portanto, cada ângulo interno do pentágono regular DEFGH mede 108°. Isso significa que ${\angle FGH}$, ${\angle EFG}$, ${\angle DEF}$, ${\angle EDH}$ e ${\angle DHG}$ medem 108° cada.

A importância de entender e aplicar a fórmula para o cálculo dos ângulos internos de polígonos regulares não pode ser subestimada. Essa fórmula é uma ferramenta poderosa que nos permite determinar medidas angulares precisas, facilitando a resolução de problemas geométricos mais complexos. A aplicação correta desta fórmula, combinada com a análise das propriedades específicas de cada polígono, é essencial para o sucesso na resolução de exercícios de geometria. Além disso, a compreensão da relação entre o número de lados de um polígono e a soma de seus ângulos internos é um conceito fundamental na geometria.

3. Cálculo do Ângulo ${\angle ADE}$

Para encontrar a medida do ângulo ${\angle ADE}$, precisamos analisar o triângulo ADF. Sabemos que ${\angle DAF}$ é um ângulo do triângulo equilátero ABC, então ${\angle DAF = 60°}$. Também sabemos que ${\angle ADF}$ é um ângulo interno do pentágono regular DEFGH, então ${\angle EDF = 108°}$.

No triângulo ADF, o ângulo ${\angle AFD}$ é um ângulo externo ao pentágono regular DEFGH. Portanto, ele é suplementar ao ângulo interno adjacente, que é ${\angle EFG}$. Assim:

${\angle AFD = 180° - 108° = 72°}$

Agora, podemos usar a soma dos ângulos internos do triângulo ADF para encontrar ${\angle ADE}$:

${\angle ADE = 180° - (60° + 72°) = 180° - 132° = 48°}$

Assim, o ângulo ${\angle ADE}$ mede 48°.

O cálculo do ângulo ${\angle ADE}$ envolve a aplicação de diversos conceitos geométricos, como a soma dos ângulos internos de um triângulo e a relação entre ângulos internos e externos de um polígono. A habilidade de combinar esses conceitos e aplicá-los de forma lógica é crucial para a resolução de problemas geométricos mais complexos. A compreensão das propriedades dos triângulos e dos pentágonos, juntamente com o uso de relações angulares, permite determinar medidas desconhecidas e avançar na solução do problema. Além disso, a visualização clara da figura e a identificação dos ângulos relevantes são passos importantes para evitar erros e garantir a precisão dos cálculos.

4. Cálculo do Ângulo ${\angle EDH}$

Já sabemos que ${\angle DEF}$ é um ângulo interno do pentágono regular DEFGH, e cada ângulo interno mede 108°. Portanto:

${\angle EDH = 108°}$

A identificação direta de ângulos em figuras geométricas regulares é uma habilidade fundamental que simplifica a resolução de problemas.** A compreensão das propriedades específicas de cada figura, como o pentágono regular, permite determinar medidas angulares sem a necessidade de cálculos complexos. Além disso, a visualização clara da figura e a identificação dos ângulos relevantes são passos importantes para evitar erros e garantir a precisão dos resultados.

5. Resposta Final

As medidas dos ângulos são:

• ${\angle ADE = 48°}$
• ${\angle EDH = 108°}$

Conclusão

Este exercício demonstra a importância de compreender e aplicar as propriedades de figuras geométricas regulares, como triângulos equiláteros e pentágonos regulares. A solução envolveu a análise das características dessas figuras, o cálculo de ângulos internos e externos, e a aplicação de conceitos básicos de geometria. A prática de exercícios como este é essencial para fortalecer o raciocínio lógico e a capacidade de resolver problemas geométricos complexos.

Resolver problemas de geometria requer uma abordagem sistemática e a aplicação correta de conceitos e propriedades.** A prática constante e a análise detalhada das figuras geométricas são fundamentais para o desenvolvimento de habilidades de resolução de problemas. Além disso, a capacidade de visualizar e manipular figuras mentalmente é uma ferramenta poderosa que pode facilitar a compreensão e a solução de problemas complexos. A geometria não é apenas um conjunto de fórmulas e teoremas, mas também uma forma de pensar e raciocinar sobre o espaço e as formas.